1. 第37节 西洛理论的应用

这段引言为第37节的内容设定了基调和背景。它首先点明了本节的核心主题：展示西洛定理(Sylow's Theorems)的强大应用。

1. 核心目的：应用西洛定理来分析和推断有限群的结构。西洛定理是有限群论中一组非常深刻的定理，它们提供了关于一个有限群中特定阶（素数幂次）的子群（称为西洛p-子群）的存在性、数量和性质的重要信息。
2. 西洛定理的威力：作者提到，利用西洛定理，我们可以“轻易地推导出”关于特定阶的群的某些事实。这暗示了定理的实用性。在没有这些定理的情况下，要确定一个给定阶的群有哪些结构会非常困难。例如，我们可以用它来证明某些阶的群不可能是单群（即除了它自身和平凡子群{e}之外，没有其他正规子群的群）。
3. 局限性与挑战：作者紧接着指出了这项工作的局限性。
   • 仅限有限群：西洛定理只适用于有限群，对于无限群无效。
   • “微小进展”：尽管西洛定理很强大，但它距离解决“确定所有有限群结构”这个宏伟而困难的“分类问题”还有很长的路要走。有限群的结构极其丰富和复杂，完全分类是一个巨大的挑战。
   • 适用范围：本节的技术主要对那些阶“只有少数几个因子”的群特别有效。例如，一个群的阶是 pq 或者 p^2*q（其中 p, q 是素数），这种阶的因子相对较少，结构更容易分析。
   • 高合数的困难：相反，如果一个群的阶是“高度合数”（highly composite number），即它有很多因子（例如，阶为 60 = 2^2 3 5），那么群的结构可能性会急剧增加，分析起来也“要困难得多”。阶为 60 的群中就存在一个著名的非阿贝尔单群 A_5。
4. 展望：作者提到了第40节的内容，预告了将进一步探讨如何描述某些特定阶的所有群的结构（在同构意义下），即使这些群中包含非阿贝尔群。这表明本节只是一个开始，后续会有更深入的讨论。

这个定理陈述了一个关于p-群的重要性质。我们来逐步拆解。

• 素数幂阶群 (prime-power order group)：一个群 G 的阶 |G| 是一个素数 p 的正整数次幂，即 |G| = p^r，其中 p 是素数，r 是正整数。这种群也被称为p-群。例如，阶为 8 = 2^3 的群是 2-群，阶为 27 = 3^3 的群是 3-群。
• 可解群 (solvable group)：这是群论中的一个核心概念。一个有限群 G 被称为可解的，如果它有一个合成列 (composition series)，其所有的因子群 (factor groups) 都是阿贝尔群。更直观地，一个群是可解的，意味着它可以被一系列的正规子群“分解”，每次分解得到的“商”或“因子”都是结构最简单的阿贝尔群。这个名字来源于伽罗瓦理论，一个多项式方程是否能用根式求解，就取决于其伽罗瓦群是否是可解群。

所以，定理 37.1 的意思是，任何阶为 p^r 的有限群，无论其结构看起来多么复杂，都满足可解群的定义。这意味着它们在某种层次上具有“良性”的结构，可以被阿贝尔群“搭建”起来。

这个证明非常简洁，其核心思想是构建一个满足可解群定义的子群链。

1. 前提：我们有一个群 G，其阶 |G| = p^r，其中 p 是素数，r 是正整数。
2. 核心依据：定理 36.8。证明的第一步就引用了之前的定理 36.8。这个定理是关于p-群结构的一个关键结论，它断言：对于一个阶为 p^r 的群 G，以及任意满足 0 <= i < r 的整数 i，G 中任意一个阶为 p^i 的子群 H，都是 G 中某个阶为 p^(i+1) 的子群 K 的正规子群。也就是说，H 正规于 K（H ◁ K）。
3. 构建子群链：基于定理 36.8，我们可以从平凡子群 {e} 开始，一步步向上构建一个子群链。
   • 令 H_0 = {e}，它的阶是 p^0 = 1。
   • 根据定理 36.8，存在一个阶为 p^1 = p 的子群 H_1，使得 H_0 在 H_1 中正规 (H_0 ◁ H_1)。这总是成立的，因为 {e} 在任何群中都是正规子群。
   • 现在我们有了阶为 p 的子群 H_1。再次应用定理 36.8，存在一个阶为 p^2 的子群 H_2，使得 H_1 在 H_2 中正规 (H_1 ◁ H_2)。
   • 重复这个过程 r 次。对于任意 0 <= i < r，我们总能找到一个阶为 p^(i+1) 的子群 H_(i+1)，它包含一个阶为 p^i 的子群 H_i 作为正规子群。
   • 最终，我们会得到一个阶为 p^r 的子群 H_r，它就是 G 本身。
4. 形成子群链：通过上述过程，我们得到了一个严格递增的子群链（或称为子群塔）：

{e} = H_0 < H_1 < H_2 < ... < H_r = G

其中 < 符号在这里不仅表示子群关系，更强的，H_i 是 H_(i+1) 的正规子群 (H_i ◁ H_(i+1))。

1. 分析因子群：现在我们来考察这个链相邻两项构成的因子群（或商群） H_(i+1) / H_i，其中 0 <= i < r。
   • 因子群的阶：根据拉格朗日定理，|H_(i+1) / H_i| = |H_(i+1)| / |H_i| = p^(i+1) / p^i = p。
   • 因子群的结构：任何阶为素数 p 的群，必定是循环群（因此也必然是阿贝尔群）。这是因为在这样的群中，任何非单位元元素的阶都必须整除 p，又因为阶大于1，所以阶只能是 p。这个元素生成的循环子群的阶就是 p，等于整个群的阶，所以群是循环的。
2. 结论：可解性：我们构建的这个子群链 {e} = H_0 < H_1 < ... < H_r = G，其中每个 H_i 在 H_(i+1) 中都是正规子群，并且所有的因子群 H_(i+1) / H_i 的阶都是素数 p，因此都是阿贝尔群。这个链实际上是一个可解列 (solvable series)。如果这个链中的每个 H_i 都是 G 的正规子群，它就是一个正规列 (normal series)。即使不是，这个链也可以被细化为一个合成列，其因子群都是单群。由于我们已经知道因子群是阶为 p 的阿贝尔群，而阶为素数的阿贝尔群必然是单群，所以这个链本身就是一个合成列。因为这个合成列的所有因子群都是阿贝尔群，根据定义，群 G 是可解的。

这段话的目的是引入一个非常重要的工具——类方程 (Class Equation)。

1. 历史背景：作者首先提到，西洛定理的历史证明方法之一就是使用类方程。虽然在前一节（第36节）中，教科书采用了一种更现代、可能更直接的证明方法，该方法巧妙地绕开了对类方程的明确阐述，但作者认为让读者熟悉这个经典工具仍然是必要的。
2. 与前文的联系：作者指出，第36节证明中用到的一个方程（标记为方程(2)）实际上是类方程思想的一般化体现。这说明类方程背后的数学原理是无法回避的，只是表现形式不同。
3. 推导的起点：推导类方程的起点是群作用 (Group Action) 的一个基本结论，即轨道-稳定集定理的推论。
   • G 是一个有限群。
   • X 是一个有限集合。
   • G 作用于 X（G-集合），意味着 G 中的每个元素都可以看作是 X 上的一个置换。
   • 轨道 (Orbit)：对于 X 中的一个元素 x，它的轨道 Gx 是 G 中所有元素作用于 x 后得到的所有元素的集合。Gx = {g.x | g ∈ G}。整个集合 X 可以被划分为互不相交的轨道。
   • 不动点集 (Fixed Points)：X_G 是 X 中被 G 中所有元素都保持不变的点的集合。X_G = {x ∈ X | g.x = x for all g ∈ G}。每个这样的不动点自身就构成一个大小为1的轨道。
4. 核心方程的解释：方程(1)表达了一个简单的计数原理：整个集合的大小等于所有不相交部分大小之和。
   • X 被划分成若干个轨道。
   • 有些轨道只有一个元素，这些元素就是不动点。所有这些单元素轨道（不动点）合在一起，其元素的总数就是 |X_G|。
   • 剩下的轨道都包含多于一个元素。我们从每个这样的轨道中任选一个代表元 x_i，这个轨道的大小就是 |Gx_i|。
   • 将所有不动点的数量 |X_G|，加上所有大于1的轨道的大小 |Gx_i|，就得到了整个集合 X 的大小 |X|。

这是推导类方程的核心步骤。它将前面通用的群作用方程(1)应用到一个非常特殊且重要的群作用上。

1. 确定特殊的群作用：
   • 作用的集合 X：不再是任意集合，而是群 G 自身，即 X = G。
   • 作用的方式：也不是任意作用，而是共轭作用 (conjugation action)。具体来说，群 G 中的一个元素 g 作用在另一个元素 x（这里 x 也来自 G）上的结果是 gxg^(-1)。
   • 验证这确实是一个群作用：
   • e.x = exe^(-1) = x (单位元作用不变)
   • (gh).x = (gh)x(gh)^(-1) = ghxh^(-1)g^(-1) = g(hxh^(-1))g^(-1) = g.(h.x) (结合律成立)
2. 分析不动点集 X_G：
   • 根据不动点的定义，X_G 是 G 中满足 g.x = x 对所有 g ∈ G 成立的元素 x 的集合。
   • 将共轭作用代入：gxg^(-1) = x。
   • 这个等式可以变形：两边右乘 g，得到 (gxg^(-1))g = xg，即 gx = xg。
   • 所以，x 是一个不动点，当且仅当 gx = xg 对所有的 g ∈ G 都成立。
   • 这正是群的中心 (Center) 的定义！群 Z(G) 的定义就是 G 中所有能与 G 中任何元素交换的元素的集合。
   • 因此，在这个特殊的共轭作用下，不动点集 X_G 就是群的中心 Z(G)。
3. 代入方程(1)：
   • 将 X = G 代入，方程左边是 |X| = |G|。
   • 将 X_G = Z(G) 代入，方程右边第一项是 |X_G| = |Z(G)|。
   • 轨道：在共轭作用下，一个元素 x 的轨道是 {gxg^(-1) | g ∈ G}，这个集合被称为 x 的共轭类 (conjugacy class)。
   • 将这些代入方程(1)，得到：
4. 整理成类方程 (方程(2))：
   • 为了书写简洁，引入新符号：
   • c = |Z(G)|，表示中心的大小。
   • n_i = |Gx_i|，表示第 i 个共轭类的大小。
   • 中心的每个元素自成一个共轭类（因为 gxg^(-1) = xg g^(-1) = x），所以中心就是所有大小为1的共轭类的并集。c 正好是大小为1的共轭类的数量。
   • 于是，方程(1)就变成了方程(2)：
5. 一个重要的性质：作者最后提醒了一个关键事实：每个 n_i (即每个共轭类的大小) 都必须是 |G| 的一个约数。
   • 这来自于轨道-稳定集定理：|Gx_i| = |G| / |G_(x_i)|。
   • 在共轭作用中，元素 x 的稳定子群 G_x = {g ∈ G | gxg^(-1) = x}，这等价于 {g ∈ G | gx = xg}。这个集合被称为 x 的中心化子 (Centralizer)，记为 C_G(x)。
   • 所以，一个共轭类的大小 n_i 等于 |G| / |C_G(x_i)|。因为 |C_G(x_i)| 是 |G| 的约数（根据拉格朗日定理），所以 n_i 也必然是 |G| 的约数。

这是一个正式的定义，明确了两个关键术语的名称。

1. 类方程 (Class Equation)：前面推导出的方程 |G| = c + n_(c+1) + ... + n_r（即方程(2)）被正式命名为群 G 的类方程。这个名字非常直观，因为它是一个关于共轭类 (conjugacy class) 大小的方程。
2. 共轭类 (Conjugacy Class)：定义了什么是共轭类。它是在一个特定群作用——群 G 对自身的共轭作用——下形成的轨道 (orbit)。
   • 作用: g 作用于 x 得到 gxg^(-1)。
   • x 的轨道（即 x 的共轭类）是集合 { gxg^(-1) | g ∈ G }。

这个定义的后半部分重申了共轭类就是共轭作用下的轨道，这是理解类方程来源的关键。类方程本质上就是轨道划分方程在共轭作用这个特定场景下的一个实例。

这个例子将前面抽象的类方程概念应用到一个具体的、我们熟悉的群——对称群 S_3 上。S_3 是阶为 3! = 6 的群，代表了三个元素的全部置换。在之前的章节（如示例 8.7）中，通常会用几何方式将其描述为等边三角形的对称操作群。

1. S3 的元素：
   • ρ_0: 恒等操作（旋转0度）。对应置换 e。
   • ρ_1: 旋转120度。对应置换 (1 2 3)。
   • ρ_2: 旋转240度。对应置换 (1 3 2)。
   • μ_1, μ_2, μ_3: 关于三条对称轴的翻转。对应置换 (2 3), (1 3), (1 2)。
2. 计算共轭类：要找到共轭类，我们需要对每个元素 x，计算集合 {gxg^(-1) | g ∈ S_3}。
   • ρ_0 的共轭类：对于任何 g，gρ_0g^(-1) = geg^(-1) = e = ρ_0。所以共轭类是 {ρ_0} 。
   • ρ_1 的共轭类：ρ_1 是一个3-轮换。在 S_n 中，一个置换的共轭运算保持其循环结构。也就是说，3-轮换共轭后还是3-轮换。S_3 中只有两个3-轮换 ρ_1 和 ρ_2。通过计算可以验证它们在同一个共轭类中。例如，取 g = μ_1（一个翻转），μ_1ρ_1μ_1^(-1) = ρ_2。所以共轭类是 {ρ_1, ρ_2}。
   • μ_1 的共轭类：μ_1 是一个对换（2-轮换）。它的共轭运算结果也必须是2-轮换。S_3 中有三个2-轮换 μ_1, μ_2, μ_3。可以验证它们都在同一个共轭类中。例如，ρ_1μ_1ρ_1^(-1) = μ_2。所以共轭类是 {μ_1, μ_2, μ_3}。
3. 确定类方程的组成部分：
   • |S_3| = 6。
   • 中心 Z(S_3)：是所有大小为1的共轭类的并集。这里只有 {ρ_0} 这一个大小为1的类，所以 Z(S_3) = {ρ_0}，其阶 c = 1。
   • 大小>1的共轭类：我们有两个这样的类，大小分别为 n_1 = |{ρ_1, ρ_2}| = 2 和 n_2 = |{μ_1, μ_2, μ_3}| = 3。
4. 写出类方程：
   • 根据公式 |G| = c + Σ n_i，我们得到 6 = 1 + 2 + 3。
5. 验证：这个方程是成立的。同时，共轭类的大小 1, 2, 3 都是群阶 6 的约数，这也符合理论。

这里，作者开始展示类方程的威力。第一个应用就是证明一个关于p-群的非常核心的性质。

• 定理陈述：有限非平凡 p-群 G 的中心是非平凡的。
• 有限群 G: 群 G 的元素个数是有限的。
• p-群: G 的阶 |G| 是一个素数 p 的幂，即 |G| = p^r for r ≥ 1。
• 非平凡群 (nontrivial group): G 不仅仅只包含单位元 e，即 |G| > 1。对于p-群来说，这意味着 r ≥ 1。
• 中心 (Center) Z(G): G 中与所有元素都可交换的元素组成的子群。
• 非平凡中心 (nontrivial center): 中心 Z(G) 不仅仅只包含单位元 e，即 |Z(G)| > 1。

• 定理的意义：这个定理说明，任何一个非阿贝尔的p-群，虽然不是所有元素都能两两交换，但至少存在一些非单位元的元素，它们能够“神奇地”与群里所有其他元素交换。这表明p-群的非交换性是受到限制的，它不可能“完全非交换”。这个性质是p-群理论的基石。

这是一个非常精彩和经典的数论风格的证明，完全依赖于类方程的整除性质。

1. 写下类方程：我们从群 G 的类方程开始：

|G| = c + n_(c+1) + ... + n_r

其中 c = |Z(G)|，n_i 是大小大于1的共轭类的大小。

1. 利用p-群的性质：我们知道 G 是一个p-群，所以 |G| = p^r for some r ≥ 1。
   • 方程左边 |G| 显然能被 p 整除。
2. 分析 n_i：
   • 我们之前推导过，每个 n_i 都是 |G| 的约数。即 n_i | |G|。
   • 因为 |G| = p^r，所以 n_i 的形式也必须是 p^k，其中 k 是某个整数。
   • 在类方程的求和项中，n_i 是大小大于1的共轭类的大小，所以 n_i > 1。
   • 因此，n_i 必须是 p 的某个正整数次幂 (k ≥ 1)。
   • 这意味着，对于求和中的每一个 n_i，都有 p | n_i（p 整除 n_i）。
3. 运用整除法：我们将类方程变形为 c = |G| - (n_(c+1) + ... + n_r)。
   • 我们知道 p 整除 |G|。
   • 我们也知道 p 整除求和中的每一项 n_i。因此，p 也必然整除它们的和 (n_(c+1) + ... + n_r)。
   • 一个基本的数论事实是：如果一个整数 a 能被 p 整除，另一个整数 b 也能被 p 整除，那么它们的差 a-b 也一定能被 p 整除。
   • 因此，p 必然整除 c = |Z(G)|。
4. 分析 c 的值：
   • c 是中心 Z(G) 的大小。Z(G) 是一个子群，所以它至少包含单位元 e。
   • 因此，c 的值至少是1，即 c ≥ 1。
   • 我们刚刚证明了 p 整除 c。这意味着 c 是 p 的倍数。
   • 一个大于等于1且是 p 的倍数的整数，最小也得是 p 本身。所以 c ≥ p。
5. 得出结论：
   • 既然 c = |Z(G)| ≥ p，而 p 是一个素数（p ≥ 2），那么 |Z(G)| 肯定大于1。
   • |Z(G)| > 1 这就意味着中心 Z(G) 中除了单位元 e 之外，至少还有其他元素。
   • 因此，中心 Z(G) 是非平凡的。证明完毕。

这个引理提供了一个在群 G 内部判断其是否可以被分解为两个子群的直积 (Direct Product) 的充分条件。这被称为内直积 (Internal Direct Product) 的判别准则。

引理的条件分析：

设 G 是一个群，H 和 K 是 G 的子群。要判定 G 同构于外直积 H × K，需要满足以下三个条件：

1. H 和 K 都是 G 的正规子群 (Normal Subgroups)：H ◁ G 且 K ◁ G。这意味着对于任何 g ∈ G，都有 gHg^(-1) = H 和 gKg^(-1) = K。这是非常强的条件。
2. H 和 K 的交集是平凡的 (Trivial Intersection)：H ∩ K = {e}。这意味着 H 和 K 除了单位元之外，没有任何共同的元素。
3. H 和 K 的并生成 G (Join is G)：H ∨ K = G。符号 H ∨ K 表示包含 H 和 K 的最小子群，也称为 H 和 K 的并生成子群。对于子群，它等于集合 HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}（当至少一个子群是正规时成立，这里两个都是）。这个条件意味着 G 中的任何一个元素 g 都可以被写成一个 H 中的元素 h 和一个 K 中的元素 k 的乘积，即 g = hk。

引理的结论：

如果以上三个条件全部满足，那么群 G 就和外直积 H × K 是同构的，记作 G ≅ H × K。

外直积 H × K 的回顾：

• 集合: H × K 是所有有序对 (h, k) 的集合，其中 h ∈ H, k ∈ K。
• 运算: (h_1, k_1) * (h_2, k_2) = (h_1h_2, k_1k_2)。运算是分量式地进行的。

这个引理的强大之处在于，它允许我们通过检查群 G 内部的子群性质，来揭示 G 的整体结构，判断它是否可以被“分解”成两个更小的、更简单的部分。

这是证明的第一部分，也是最关键的一步：证明来自不同子群 H 和 K 的元素可以相互交换。

1. 目标: 证明任意 h ∈ H 和任意 k ∈ K，都有 hk = kh。
2. 工具: 证明可交换性的常用技巧是考察它们的换位子 (commutator)，即 hkh^(-1)k^(-1)。如果换位子等于单位元 e，那么 hkh^(-1)k^(-1) = e，两边右乘 k 再右乘 h，得到 hk = kh。
3. 分析换位子 hkh^(-1)k^(-1): 证明的巧妙之处在于从两个角度来看这个表达式。
   • 角度1 (分组为 (hkh^(-1))k^(-1)):
   • h ∈ H, k ∈ K。
   • 因为 K 是 G 的正规子群，所以对于任何 g ∈ G（这里 g=h），都有 gKg^(-1) = K。这意味着 hkh^(-1) 必然是 K 中的一个元素。
   • k^(-1) 本身就在 K 中。
   • 两个 K 中的元素 (hkh^(-1)) 和 k^(-1) 的乘积，结果仍然在 K 中。
   • 所以，从这个角度看，hkh^(-1)k^(-1) ∈ K。
   • 角度2 (分组为 h(kh^(-1)k^(-1))):
   • h ∈ H, k ∈ K。
   • 因为 H 是 G 的正规子群，所以对于任何 g ∈ G（这里 g=k），都有 gHg^(-1) = H。更方便地，我们可以用其等价形式 g^(-1)Hg = H（令 g 为 k），即 k^(-1)Hk = H。这意味着 k^(-1)hk 必然是 H 中的一个元素。
   • 然而，原文使用了 k h^{-1} k^{-1}。我们来看：因为 h^{-1} ∈ H，且 H 是正规子群，所以 k(h^{-1})k^{-1} ∈ H。
   • h 本身就在 H 中。
   • 两个 H 中的元素 h 和 (kh^(-1)k^(-1)) 的乘积（原文 h(k h^{-1} k^{-1}) 这里似乎有个小笔误，应该是 h(khk^{-1}) 的形式，但我们跟着原文的思路走）h(kh^(-1)k^(-1)) 并不直观。
   • 让我们用更标准的 k h k^{-1}。由于H是正规的，khk^{-1} ∈ H。那么h(khk^{-1}) 就在H中。
   • 让我们回到原文的 h(kh^{-1}k^{-1})。因为 h^{-1} \in H，K是正规子群，k^{-1} \in K。原文似乎想利用H的正规性。因为H是正规的，对于k \in K \subset G，我们有 kHk^{-1} = H。所以 kh^{-1}k^{-1} \in H。因此 h(kh^{-1}k^{-1}) \in H。
   • 所以，从这个角度看，hkh^(-1)k^(-1} ∈ H。
4. 得出结论:
   • 我们证明了同一个元素 x = hkh^(-1)k^(-1)，它既属于 H，又属于 K。
   • 这意味着 x 必须在它们的交集 H ∩ K 中。
   • 根据引理的条件，H ∩ K = {e}。
   • 所以，唯一的可能性就是 x = e，即 hkh^(-1)k^(-1) = e。
   • 如前所述，这就等价于 hk = kh。

这是证明的第二部分，旨在构建一个从外直积 H × K 到 G 的同构映射。

1. 定义映射 (Mapping):
   • 我们定义一个函数 φ，它的定义域是外直积 H × K（元素是序对 (h, k)），值域是 G（元素是 g）。
   • 映射规则是 φ(h, k) = hk。即将序对中的两个元素在 G 中相乘。
2. 证明 φ 是同态 (Homomorphism):
   • 要成为同态，必须满足 φ(xy) = φ(x) φ(y)。
   • 在 H × K 中取两个元素 (h, k) 和 (h', k')。
   • 它们在 H × K 中的乘积是 (h, k)(h', k') = (hh', kk')。
   • 计算 φ((h, k)(h', k')) = φ(hh', kk') = (hh')(kk')。
   • 计算 φ(h, k)φ(h', k') = (hk)(h'k')。
   • 现在需要比较 (hh')(kk') 和 (hk)(h'k') 是否相等。
   • 这里就用到了证明第一部分的关键结论：H 的元素与 K 的元素可交换。所以 kh' = h'k。
   • 因此，(hk)(h'k') = h(kh')k' = h(h'k)k' = (hh')(kk')。
   • 由于 φ((h, k)(h', k')) = φ(h, k)φ(h', k') 成立，所以 φ 是一个同态。
3. 证明 φ 是单射 (Injective / One-to-one):
   • 要证明单射，我们只需证明其核 (Kernel) 是平凡的。核 Ker(φ) 是 H × K 中所有被映射到 G 的单位元 e 的元素的集合。
   • 设 (h, k) ∈ Ker(φ)。这意味着 φ(h, k) = e。
   • 根据定义，hk = e。
   • hk = e 可以变形为 h = k^(-1)。
   • 这个等式说明 h（它在H中）等于 k^(-1)（它在K中，因为K是子群）。
   • 所以，这个元素 h（或 k^(-1)）既在 H 中，又在 K 中。它必须属于交集 H ∩ K。
   • 根据引理的条件，H ∩ K = {e}。
   • 所以唯一的可能性是 h = e 和 k^(-1) = e，即 k = e。
   • 因此，唯一被映射到 e 的元素是 (e, e)，这是 H × K 中的单位元。
   • 所以 Ker(φ) = {(e, e)}，这证明了 φ 是单射。
4. 证明 φ 是满射 (Surjective / Onto):
   • 要证明满射，我们需要证明 G 中的任何一个元素 g，都存在一个 H × K 中的元素 (h, k) 使得 φ(h, k) = g。
   • 这意味着我们需要证明 G 中的任何元素 g 都可以写成 hk 的形式。换句话说，我们需要证明 G 等于集合 HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}。
   • 作者在这里引用了引理 34.4，该引理指出，如果 H 和 K 是 G 的子群，并且至少一个是正规的，那么并生成子群 H ∨ K 就等于集合 HK。
   • 在我们的条件下，H 和 K 都是正规的，所以 H ∨ K = HK。
   • 而引理的第三个条件就是 H ∨ K = G。
   • 所以，我们得到 G = HK。这意味着 G 中的任何元素都可以表示为 hk 的形式。
   • 这正是 φ 是满射的定义。
5. 最终结论:
   • 我们已经证明了 φ 是一个同态、单射和满射。一个既是单射又是满射的同态被称为同构 (Isomorphism)。
   • 因此，G 与 H × K 是同构的，G ≅ H × K。证明完毕。

这是一个关于特定阶有限群结构的非常经典和重要的定理。它极大地简化了对阶为 p^2 的群的分类。

• 定理陈述: 任何一个群，只要它的阶是某个素数的平方（如阶为 4, 9, 25, 49, ...），那么这个群必然是阿贝尔群（即群中任意两个元素都可交换）。

• 定理的意义:

1. 强烈的结构约束: 阶为 p^2 这个简单的算术条件，竟然能导致群的结构必须是可交换的，这是一个非常强的结论。相比之下，阶为 p^3 的群就存在非阿贝尔群（如阶为8的 D_4 和 Q_8）。所以 p^2 是一个重要的分界线。
2. 分类: 结合有限阿贝尔群基本定理，我们可以立即对所有阶为 p^2 的群进行完全分类。一个阶为 p^2 的阿贝尔群，只可能是以下两种（非同构的）情况之一：
   • 循环群 Z_(p^2)。
   • 两个阶为 p 的循环群的直积 Z_p × Z_p。
   • 所以，宇宙中任何一个阶为 p^2 的群，它的“DNA”必然是 Z_(p^2) 或 Z_p × Z_p 中的一种。

这个证明的逻辑是分类讨论，然后对非循环的情况进行构造性证明。

情况1：G 是循环群

如果 G 是一个循环群，那么根据循环群的定义，它必然是阿贝尔群。证明在这种情况下结束。

情况2：G 不是循环群

这是证明的核心部分。我们假设 G 不是循环群，并致力于证明它仍然是阿贝尔群。

1. 元素的阶:
   • 根据拉格朗日定理，G 中任何元素的阶都必须是 |G| = p^2 的约数。所以元素的阶只能是 1, p, 或 p^2。
   • 阶为1的只有单位元 e。
   • 如果存在一个阶为 p^2 的元素，那么这个元素将生成整个群 G，G 就是循环群。但这与我们的前提（G 非循环）矛盾。
   • 因此，G 中不存在阶为 p^2 的元素。
   • 结论：所有非单位元 x ≠ e 的阶都必须是 p。
2. 构造两个子群 H 和 K:
   • 选任意一个非单位元 a ∈ G。它的阶是 p。它生成的循环子群 H = 的阶也是 p。
   • 由于 |H| = p < p^2 = |G|，子群 H 不可能包含 G 的所有元素。
   • 因此，我们可以在 G 中找到一个不在 H 中的元素，称之为 b。即 b ∈ G 且 b ∉ 。
   • 元素 b 也是非单位元，所以它的阶也是 p。它生成的循环子群 K = 的阶也是 p。
3. 应用直积引理 (引理 37.5): 我们的目标是证明 G ≅ H × K。为此，需要验证引理的三个条件。
   • 条件2: H ∩ K = {e}
   • H = 和 K = 都是阶为 p 的循环群。
   • 它们的交集 H ∩ K 是 H 的子群，也是 K 的子群。
   • 根据拉格朗日定理，|H ∩ K| 必须整除 |H| = p 和 |K| = p。
   • 所以 |H ∩ K| 只能是 1 或 p。
   • 如果 |H ∩ K| = p，那么 H ∩ K = H = K，这意味着 H 和 K 是同一个子群。但这与我们选取 b 的方式（b ∉ = H）相矛盾。
   • 因此，|H ∩ K| 只能是 1，即 H ∩ K = {e}。条件2满足。